로또의 심리학 - St Petersburg의 역설

St Petersburg의 역설을 처음 보고는 뭔가 계산이 잘못된게 아닌가 한참을 생각했는데, 계산은 틀림이 없습니다. 일반적으로 로또 같은 복권은 기대수익금이 투자금액보다 낮은데 이건 훨씬 높은, 아니 기대수익금이 무한대입니다. 계산상으로는 무조건 투자해야 하는 도박입니다. 그럼에도 투자를 망설이게 되는 이유들도 윗 글에 나와 있는데, 시간이나 도박의 횟수가 문제라는 관점은 역시 심리적인 오류일 뿐입니다. 단 한판을 하나 무수히 많이 하나 결과는 마찬가지니까요. 10년간 로또를 해온 사람과 지금 처음하는 사람이 다를건 없지요.

윗글 코멘트에 나와있는 위키피디아 페이지에는 Expected Utility Theory와 Finite St. Peterburg Lotteries 라는 두 가지 이론이 있는데, 저는 두번째가 더 공감이 갑니다. 현실적으로 로또 회사에서 줄수 있는 돈은 유한하므로, 내가 충분히 많이 이겨서 (뒷면이 많이 나와서) 세상에 있는 모든 돈을 다 받는다고 하더라도 그 금액과 확률을 곱한 기대수익금액은 20달러밖에 안됩니다. 따라서 현실적으로는 투자할 가치가 없는 도박이 됩니다. (아래 테이블 참조)

로또 업체 후원자	최대 받을 수 있는 금액	기대 수익금액
Friendly game	$64	$3.50
Millionaire	$1,050,000	$10.50
Billionaire	$1,075,000,000	$15.50
Bill Gates	$51,000,000,000 (2005)	$18.00
U.S. GDP	$11.7 trillion (2004)	$22.00
World GDP	$40.9 trillion (2004)	$23.00
Googolnaire	$10100	$166.50

그런데... 사람들이 이 도박을 하지 않으려고 하고, 기대수익률이 무한대라고 하는데도 의심의 눈초리를 보내며 손해라고 생각하는 이유가 위의 이론들을 적용한 치밀한 계산의 결과는 아닐것 같습니다. 나름대로의 이론을 만들어 보자면 사람들은 기대승률과 가용금액과 당첨금을 기준으로 투자(도박에 있어서의..) 여부를 결정하는것 같습니다. 당첨금이란 최선의 경우에 받게될 금액입니다. 로또 같으면 30억 정도가 되겠죠. 사람들은 기대수익금을 보고 투자하지 않고, 이 당첨금을 보고 투자합니다. 기대수익금은 항상 2000원 이하일테니까요. 가용금액은 잃어도 좋은 액수를 말합니다. 정상적인 도박참여자들은 잃을 것을 예상하므로, 잃어도 되는 금액이 중요합니다. 따라서 수익률이 무한대라고 꼬셔도 100만불을 투자하려고 하지는 않습니다. 마지막 중요한 요소는 기대승률입니다. 사람들은 확률적으로 계산하지 않고 나름대로의 단순한 방법들로 승률계산을 하는것 같습니다. 이번 도박의 경우는 이런 식일것 같습니다. 앞면과 뒷면이 나올 확률은 반반이다. 내가 한번 이기면 2불, 두번 이기면 4불, 10번을 내리 이기면 1000불. 20번을 내리 이기면 100만불. 20번을 이겨야 본전이군. 이런 식이 아닐까요? 그리고는 20번을 이겨야 본전이면 자신이 돈을 딸 확률이 1:20 으로 불리하다고 생각할것 같습니다. (실제로는 1:100만 이지만)

앞에서의 세 요소. 기대승률, 가용금액, 당첨금의 측면에서 본다면 당첨금 액수는 "무한대"라고 하는데 너무 추상적이고, 가용금액 100만불은 너무 큰 금액이고, 기대승률은 1:20 으로 불리하다고 판단할듯 합니다. 이런 단순한 심리적인 판단이 수학적으로는 잘못됐음에도 현실적으로는 맞는 판단이라는게 재미있군요.